2019年
第 7 题
把 8 个同样的球放在 5 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？（）
提示：如果 8 个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。
A. 22
B. 24
C. 18
D. 20
选C。
4个空袋：1种
3个空袋：1+7，2+6，3+5，4+4
2个空袋：1+1+6，1+2+5，1+3+4，2+2+4，2+3+3
1个空袋：1+1+1+5，1+1+2+4，1+1+3+3，1+2+2+3，2+2+2+2
没有空袋：1+1+1+1+4，1+1+1+2+3，1+1+2+2+2
第 12 题
—副纸牌除掉大小王有 52张牌，四种花色，每种花色 13 张。
假设从这 52 张牌中随机抽取 13 张纸牌，则至少（）张牌的花色一致。
A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
选A。解析：这是一个应用鸽巢原理的问题。鸽巢原理，又称抽屉原理，是组合数学中的一个定理。其基本内容是：如果把$n+1$个物体放入$n$个盒子，那么至少有一个盒子里有两个物体。
在这个问题中，”鸽子”是52张牌，”鸽巢”是4种花色。我们需要从52张牌中抽取13张牌，那么根据鸽巢原理，至少有一个花色的牌数大于等于$\dfrac{13}{4}=3.25$,向上取整得4。
所以至少4张牌的花色一致。
第 13 题
—些数字可以颠倒过来看，例如 0,1,8 颠倒过来还是本身，6 颠倒过来是 9，9 颠倒过来看还是 6，其他数字颠倒过来都不构成数字。
类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 106 颠倒过来是 901。假设某个城市的车牌只由 5 位数字组成，每一位都可以取 0 到 9。
请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（）
A. 60
B. 125
C. 75
D. 100
选C。第1、2位有（0、1、8、6、9）五个数字，第3位有（0、1、8）三个数字，第4、5位由第1、2位决定(如第1位6，则第5位9）。
5 * 5 * 3 = 75
2020年
第 10 题
5 个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有（ ）种不同排列方法?
A. 48
B. 36
C. 24
D. 72
选A。我们可以把双胞胎看作一个整体，那么就有4个整体(3个小朋友和一个双胞胎整体)需要排列，共有$4!=24$种排列方法。而双胞胎之间又有2种排列方法。所以总的排列方法为$24\times2$ $=48$种。
第 14 题
10 个三好学生名额分配到 7 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。
A. 84
B. 72
C. 56
D. 504
选A。可将10个学生看成10个元素，一字排开，元素之间形成9个空。在9个空中插入6块板即可将其分为7部分，则共有$C_9^6=84$种方案。
第 15 题
有五副不同颜色的手套（共 10 只手套，每副手套左右手各 1 只），一次性从中取 6 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。
A. 120
B. 180
C. 150
D. 30
选A。恰好能配成两幅手套，那么只能是$5$只手套成一副，剩下1只手套。
所以先从5副中取2副，有$C_5^2=10$种，
再从剩下的6只中，取第5个，6种取法，
从剩下的5只中，取第6个，不能与第5个相同，只有2种取法，
共有$C_5^2\times 6 \times \times 2=120$种。
2021年
第 10 题
6 个人，两个人组一队，总共组成三队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（ ）种。
A. 10
B. 15
C. 30
D. 20
选B。6取2，剩下4取2，剩下2取2，队伍没有顺序，要除以三个队伍的排列数。$C_6^2 * C^2_4 * C^2_2 / A_3^3 = 15$
第 12 题
由 1,1,2,2,3 这五个数字组成不同的三位数有（ ）种。
A. 18
B. 15
C. 12
D. 24
选A。依次枚举：
1开头：112、113、121、122、123、131、132
2开头：211、212、213、221、223、231、232
3开头：311、312、321、322
2022年
无。
